Quando la pubblicita' e' infinitodimensionale

ELISA TACCONI E UN COLLEGA, IN UN ARTICOLO PUBBLICATO DA SIAM, JOURNAL ON CONTROL AND OPTIMIZATION, ANALIZZANO PROBLEMI DI CONTROLLO OTTIMO CON RITARDO NELLA VARIABILE DI STATO O DI CONTROLLO

Elisa Tacconi (Dipartimento di Finanza) e Salvatore Federico (Università degli Studi di Milano), nell'articolo Dynamic Programming for Optimal Control Problems with Delays in the Control Variable (in SIAM, Journal on Control and Optimization, Volume 52, Issue 2, pp. 1203-1236, doi: 10.1137/110840649) si occupano dello studio di una classe di problemi di controllo ottimo in cui l'equazione di stato è una equazione differenziale ordinaria la cui particolarità risiede nel fatto che la variabile di controllo ha effetti ritardati sulla dinamica.

I problemi di controllo ottimo con ritardo nella variabile di stato e/o di controllo trovano applicazioni in diverse aree scientifiche, tra le quali l'economia e la finanza. Le motivazioni risiedono nel fatto che nella modellizzazione di alcuni problemi concreti è naturale supporre che l'evoluzione del sistema dinamico che li rappresenta abbia memoria del passato. In anni recenti, una parte di letteratura matematico-economica ha proposto e risolto con successo problemi di questo tipo migliorando in maniera significativa la comprensione di alcuni fenomeni economici (menzioniamo, a titolo di esempio, la spiegazione della presenza di cicli economici mediante l'introduzione del cosiddetto time-to-build in modelli di crescita economici classici).

Un esempio di applicazione economica è il problema dell'optimal advertising. Nella sua forma più semplice (senza ritardo), tale problema è stato proposto in letteratura da Nerlove e Arrow (1962). La fama o buona reputazione dei prodotti - il cosiddetto goodwill - rappresenta la variabile di stato del problema, mentre la spesa in pubblicità ne rappresenta la variabile di controllo. Assumendo che chi investe in pubblicità voglia massimizzare i profitti ottenuti dalla vendita dei suoi prodotti, il problema consiste nello stabilire qual è il tasso ottimale d'investimento. L'introduzione dell'elemento di ritardo nella variabile di controllo è stata proposta da Pauwels (1977), e l'importanza di effetti ritardati è stata sottolineata da Feichtinger, Hartl e Sethi (1994). L'idea di fondo è che i consumatori hanno una memoria della pubblicità passata che ancora continua ad condizionare le loro scelte.

Dal punto di vista metodologico, questo tipo di problemi presenta delle difficoltà intrinseche dovute al fatto che il sistema dinamico in questo caso ha una natura essenzialmente infinitodimensionale. Un metodo per trattare questo tipo di problemi è rappresentarli in un opportuno spazio infinito dimensionale in cui il termine di ritardo viene assorbito dalla nuova variabile di stato. Il passo successivo è lo studio dell'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) associata nello spazio a dimensione infinita. L'articolo studia una classe di problemi di questo tipo - con ritardo nella variabile di controllo - attraverso questo approccio.

Dal punto di vista strettamente teorico, i risultati principali dell'articolo sono la dimostrazione di un risultato di regolarità direzionale per soluzioni di viscosità dell'equazione HJB a dimensione infinita e la costruzione di controlli ottimali in forma feedback per il problema attraverso l'utilizzo di tale regolarità.

di Elisa Tacconi